====== 反復演算の簡単な応用例 ======

===== ニュートン法 =====

反復計算を利用する簡単な応用例として、ニュートン法((ニュートン法の収束条件などは文献を参照))のプログラムを考える。ニュートン法は、関数<m>f</m>(<m>x</m>)の導関数<m>f{prime}</m>(<m>x</m>)を利用して、反復計算により<m>f</m>(<m>x</m>)=0の解を求める方法である。<m>f</m>(<m>x</m>)=0の真の解を<m>alpha</m>とするとき、その近傍にある近似解を<m>x_k</m>とする。テイラー展開の1次の項まで用いると、<m>f</m>(<m>alpha</m>)は次のように近似される。

<m>f</m>(<m>alpha</m>) <m>approx f</m>(<m>x_k</m>)<m>+f{prime}</m>(<m>x_k</m>)(<m>alpha~-~x_k</m>)

<m>f</m>(<m>alpha</m>)=<m>0</m>であるので、これにより近似解<m>x_{k+1}</m>が得られる。

<m>alpha approx x_{k+1} = x_k~-~{f(x_k)}/{f {prime}(x_k)}</m>

上記の反復計算の過程は、下図のように表せる。<m>y=f</m>(<m>x</m>)とういう関係を、 \\ 
点(<m>x_k~,~~f</m>(<m>x_k</m>))を通る接線<m>y=f</m>(<m>x_k</m>) + <m>f{prime}</m>(<m>x_k</m>)(<m>x~-~x_k</m>) <m>approx g</m>(<m>x</m>)で近似する。この近似式から得られる<m>g</m>(<m>x</m>)=0の解、すなわち接線が<m>x</m>軸と交わる点を新しい近似解<m>x_{k+1}</m>とする。この演算を繰り返して、真の解<m>alpha</m>に十分に近い近似解を求める。ニュートン法では、<m>f</m>(<m>x_0</m>)・<m>f{prime}{prime}</m>(<m>x_0</m>)<m>~>0</m>となるように初期値<m>x_0</m>を選ぶと収束解が得られやすいとされている。

{{ :fortran:1基本:1基本プログラム:newton2.jpg?direct& |}}
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ニュートン法の反復過程
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==== 例題 ==== 
ニュートン法により正の実数<m>alpha</m>の平方根<m>sqrt{alpha}</m>を求めるプログラムを作成する。

ここでは、<m>f</m>(<m>x</m>)=<m>x^2-alpha</m>として、<m>f</m>(<m>x</m>)=0の正の解を求めることになる。例題の近似解を求める関係式は次のようになる。

<m>x_{k+1}=x_k~-~{x^2_{k}~-~alpha}/{2x_k}</m>

<m>x_k</m>の初期値を<m>alpha</m>とすれば、反復計算により近似解は<m>sqrt{alpha}</m>に近づく。初期値を<m>alpha</m>から新しい近似解を繰り返し求めるプログラムを作成すればよい。

<m>x_{k+1}</m>と<m>x_k</m>との差が十分に小さくなった時点で反復計算を終了し、近似解や反復回数や誤差を出力する。

  * ニュートン法により<m>sqrt{alpha}</m>を求めるプログラム
<code fortran list1_8.f90>
program newton_sqrt
  impplicit none
  real(8) :: x1, x2, a, er, er0=1.0d-6     !er0は許容誤差
  integer :: k, km=100                     !kmは最大反復回数
  write(*,*) 'input a :',                  !入力を促す表示
  read(*,*) a                              !入力されたデータを変数aに格納
  if ( a<= 0.0d0) stop 'a<=0.0d0'          !a>0の時計算実行
  x1 = a                                   !近似解の初期値をaとする
  do k = 1, km                             !最大km回ループを回す
    x2 = x1 - 0.5d0 * ((x1 * x1) - a) / x1 !新しい近似解x2の計算 
    er = abs(x2 - x1)                      !x1とx2の差を計算
    if ( er < er0) exit                    !許容誤差以下ならば計算終了
    x1 = x2                                !x1にx2を入れ替える
  end do                                   !doループ終了 
  write(*,*) 'kai, k, er = ',x2, k, er     !近似解,反復回数,誤差の出力
end program newton_sqrt
</code>


<note important>
宣言文中で初期値を指定する場合には、2連コロン「**::**」を入れる。
</note>